原点に線形に時間依存する湧き出し\(bt\) があるようなトレーサ \(c\) の二次元の拡散は
\[\frac{\partial c}{\partial t} = \frac{1}{r}\frac{\partial c}{\partial r} + \frac{\partial^2 c}{\partial r^2} \]
で \(c(r=0)=bt\)
が境界条件。
これはラプラス変換 \(t \to p\) するとなんと解けて \(t \to \infty\) で発散しない解は \(c = K_0(r\sqrt{p})\)。 岩波の公式 II をみるとなんとなんと逆ラプラス変換が存在して
\[\frac{1}{2t}\exp\left(-\frac{r^2}{4t}\right)\]
この解はトレーサ総量 \(\int_0^\infty r\mbox{d}r\) が保存してまことに気分が良いのだが境界条件の入れ方が分からなくて困っている。とりあえずメモしておく。